Sisu
Meie kaasaegne arusaam kardinaalsusest tuleneb Georg Cantori tööst 1890. aastatel, komplektidel võib olla kolme tüüpi kardinal: piiratud, loendatav ja loendamatu. Lõplikud komplektid võivad omada kindlat arvu, näiteks nende kardinaalsus: komplektis olevate üksuste arv. Nii loendatavad kui ka lugematud komplektid on lõpmatud. Cantor oli esimene matemaatik, kes märkis, et lõpmatu komplekti omadus on see, et seda saab panna üks-ühele kirjavahetusele omaenda alamhulgaga.
Juhised
-
Kui see on piiratud, märkige kardinaalsuse komplekti jaoks kindel number. Nende komplektide puhul on kardinaalsus selles sisalduvate objektide arv. Lõpmatuseks on võimatu nimetada kardinaalsusele kindlat numbrit - me saame kasutada ainult ühte kirjeldavat sõna. Komplekti alamhulk on selline, mis sisaldab mõningaid - kuid mitte kõiki - seatud numbreid, kuid ükski neist ei ole selles. Näiteks on Portugali tähestikus tähtede alamhulk sõna "banaan" tähed. Piiratud komplektide korral on vastavad alamhulgad väiksemad. Mis ei ole lõpmatu komplekti puhul tõsi.
-
Alustage komplekti konkreetsest elemendist ja hoidke igaveseks, konkreetsel viisil, loendama kõik komplekti elemendid. See on lõpmatu komplekti arvestuse määratlus. Põhijooneks on see, et on olemas algoritm kõigi elementide loetlemiseks igavesti. Arhetüüpiline loendatav lõpmatu komplekt on täisarvu. Alustage "üks" ja jätkake järgmise järjestikuse numbriga. Te ei saa anda kardinalist numbrit, vaid ütlete ainult, et see on igavene. Pange tähele, et iga täisarvu korral on vastav paarisarv, mis on kaks korda suurem. Seal on nii palju täisarvu kui on paarisarv. Komplekti ja selle komplekti õige alamhulga vahel on üks-ühele vaste.
-
Võrdle komplekti, mille numbrid on vahemikus null ja üks, et näha, kas see on lugematu lõpmatu. Neid ei saa alustada, sest nulli ja ühe vahelise numbri järel puudub järgmine arv. Cantor andis näite, kuidas aidata lugeda lugematuid komplekte: punkte ja jooni. Punktid ei ole pikad ega lai, isegi kui rida koosneb punktidest. Kui read on punktide lõpmatuseks, oleks rea pikkus 0 + 0 + 0 ja nii edasi, igavesti. Liinidel peab olema loendamatu arv punkte.
Kuidas
- Cantori test on näha, kas kahel komplektil on sama kardinaalsus, kui komplekti elemente saab ühildada üksteise järel.
Teade
- Aritmeetika töötab ainult piiratud komplekti puhul. Kui N on nii loendatav kui ka lugematu lõpmatus, siis N + 1 = 200N = N + N = N.